典型数字推理问题3
巧用假设法
同学们，我们在学习过分数乘、除法和倒数的知识后，会遇到这样的问题：甲的2/5和乙的3/4相等，求甲与乙的比是什么？这样的问题不少同学觉得很难下手，实际上只要用假设法，首先列出等式：甲×2/5=乙×3/4，然后假设等式的结果都是1，利用倒数的知识，可知甲是5/2，乙是4/3，则可求出甲与乙的比是15∶8。
又如，“有两根同样长的绳子(长于1米)，第一根剪去1/2米，第二根剪去1/2，剩下的相比较，哪一根长？”这样的问题用假设法解决起来也很容易，设这两根分别长10米，第一根还剩9.5米，第二根还剩5米，很容易知道第一根剩下的长。同学们，你还能假设其他数来解决这个问题吗？如果两根绳子的长度都等于1米或都小于1米，结果又会如何呢？请你们用假设法来解决这两个问题。
《换个角度、整体思考》
题目：一次考试共有五道试题，做对第（原题没有“第”字）1、2、3、4、5题的分别占考试人数的84%、88%、72%、80%、56%，如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？ 解法：假设这次考试有100人参加，那么五题分别做对的人数为84、88、72、80、56人。全班共做对84+88+72+80+56=380（题）。要求及格率最少，也就是让不及格人尽量的多，即仅做对两题的人尽量的多；要让及格的人尽量的少，也就是说共做对5题和共做对4题的人要尽量的多。我们可以先假设所有人都只做对两题，那么共做对100×2=200（题）。由于共做对5题的最多有56人，他们一共多做了56×3=168（题），这时还剩下380－（200+168）=12（题）。因为做对4题的人要尽量的多，所以每2题分给一个人，可以分给12÷2=6（人），即最多6个人做对4题。加上做对5题的56人，那么及格的人最少有56+6=62（人），也就是及格率至少为62%。
骑驴找驴
一次师生座谈会，老师看学生，人数一样多，学生看老师，老师的人数是学生的3倍，问老师和学生各有多少人？
分析：
（方法一）
设:老师= X , 学生=Y;
老师看学生，人数一样多(在看的老师不包括在内)即可以列为方程:X－1=Y；
学生看老师，老师的人数是学生的3倍（在看的学生不包括在内）即可列为方程:
3×（Y－1）＝X；
所以:解得Y＝2，X＝3
分析：
（方法二）
3个老师，当其中一位老师看学生的时候，把自己忽略了，2个学生。2个老师一样多；2学生中的一个看老师的时候也是把自己给忽略了，所以就剩一个学生了，老师还是3个。
“凑比法”解题例谈
在小学数学竞赛中，常常遇到这样一类题目：已知两个量的和（差），以及它们的某种关系，而这种关系又无法转化成其中一个量是另一个量的几分之几（统一单位“1”），也无法求出这两个量的比。因此，常规解法极为繁杂。若将其中的一个量增加（减少）一个特定数量后，则常很容易“凑”出它们的比，从而使问题化繁为简，化难为易。
生1999年第十五届《迎春杯》决赛题）
还多10个”得：
从而知，师傅加工零件个数是3份，（徒弟加工零件个数+40个）是4份，也就是（师徒二人共加工零件个数+40个）（3+4=）7份，即（170+40）
弟加工零件个数为（170-90=）80（个）。
11人参加数学竞赛。这个班男、女生各多少人？
从而知，男生人数是3份，（44人-女生）是2份，也就是（男生-女生+44人）（3+2=）5份。又因“男生比女生多6人”，故（6+44）人是5
例3 甲桶油比乙桶油多3.6千克，如果从两桶中各取出1千克后，甲
（1999年小奥预赛B卷）
从而知，（甲桶油-1千克）是3份，（乙桶油-1千克）是2份，即（甲桶油-1千克）比（乙桶油-1千克）多（3-2）份，也就是甲桶油比乙桶油多（3-2）份，而甲桶油比乙桶油多3.6千克，因此，每份重为3.6÷（3-2）=3.6（千克），（甲桶油-1千克）为3.6×3=10.8（千克），甲桶原有油10.8+1=11.8（千克）。
例4 大小球共100个，取出大球的75％，取出小球的50％，则大小球共剩30个。问原有大小球各多少个？（见贵刊1998年第1、2期第22页《注意求异思维训练》中的例1，这里用“凑比法”解较容易）
分析与解 依题意“取出大球的75％，取出小球的50％，则大小球共剩30个”得：
大球个数×（1-75％）+小球个数×（1-50％）=30
大球个数×25％=30-小球个数×50％
大球个数×25％=（60-小球个数）×50％即，大球个数∶（60-小球个数）=50％∶25％=2∶1
从而知，大球个数是2份，（60-小球个数）是1份，大球个数比（60-小球个数）多（2-1）份，即[大球个数-（60-小球个数）]为（2-1）份，也就是（大球个数+小球个数-60）为（2-1）份，又知大小球共100个，故（100-60）个为（2-1）份，又知大小球共100个，故（100-60）个为（2-1）份，即40个是1份。因此，大球个数有（40×2=）80（个），小球个数有（100-80=）20（个）。
巧分数字和
题目 将1至9九个数字写在一条纸带上，如下图：
将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是____。
这是1997年小学数学奥林匹克决赛中的一道整除的问题。将纸带剪成三段，要剪两刀，共有28种不同的剪法，逐一去试，分别计算出结果，再去试除，这样做太繁琐，不可取。可以结合整除的有关知识，从这九个数字的数字和去考虑。
分析与解答 由于77=7×11，（7、11）=1，所以能被77整除的数，必能分别被7和11整除。
先考虑能被11整除。一个数若能被11整除，其奇位数字之和与偶位数字之和的差必能被11整除。对于这一性质，可以得到这样的推论：如果几个加数的和能被11整除，那么这几个加数所有奇位数字之和与偶位数字之和的差必能被11整除。
对于这条纸带上的九个数字，不管怎样剪，奇位数字和总大于偶位数字和。由于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45=39+6=28+17，39-6=11×3，28-17=11，所以奇数、偶数的所有数字和分别是39和6或28和17。
（一）当奇位数字之和是39，偶位数字之和是6时，因为6=1+2+3=5+1=4+2，只剪两刀，使另外的6个或7个数字都在奇位上，这显然是办不到的。
（二）当奇位数字之和是28，偶位数字之和是17时，因为
???????????? （?）
?????????? （?）
?????????? （?）
?????????? （?）
?????????? （?）
?????????? （?）
?????????? （?）
（1）如果9、8、7、3、1在奇位上，无法使相邻的三个数字4、5、6都在偶位上。
（2）如果9、8、6、3、2在奇位上，无法使相邻的两个数字4、5都在偶位上。
（3）如果9、8、6、4、1在奇位上，无法使相邻的两个
（4）如果9、8、5、4、2在奇位上，无法使相邻的两个数字6、7都在偶位上。
（5）如果9、7、6、5、1在奇位上，无法使相邻的三个数字2、3、4都在偶位上。
（6）如果9、7、6、4、2在奇位上，相邻的两个数字6、7都在奇位上，因此必在6、7之间剪一刀，另一刀的剪法有三种：
第一种剪法得到的三个数的和：12+3456+789=4257，4257÷7=608……1
第二种剪法得到的三个数的和：1234+56+789=2079，2079÷7=297，由此可知，剪后中间一段的数是56。
第三种剪法得到的三个数的和：123456+7+89=123552，123552÷7=17650……2。
（7）如果9、7、5、4、3在奇位上，无法使相邻的两个数字1、2都在偶位上。
让静止的图形动起来
以静变动，让静止的图形动起来，这是一种动态的思想方法，这种思想方法在求解几何图形面积时是常常用到的。现举例如下：
一、旋转的思想方法
将所给图形中的某一部分绕一个固定点旋转一定（或适当）的角度，变为较明显的简单而又直观的图形。
例1 如图1中的两个三角形都是正三角形，大三角形的面积是小三角形面积的多少倍？
分析与解 观察图1可见，只需将小三角形绕圆心旋转60°，得到如图2所示的图形。小三角形将大三角形分别割成面积相等的四块。因此大三角形的面积是小三角形面积的4倍。
例2 求图3中阴影部分的面积。（π取3）（单位：厘米）
分析与解 观察图3发现，只要将图中右边的阴影部分绕圆心逆时针方向旋转90°就得到图4所示的形状。所求的阴影部分的面积就是大扇形的面积与空白部分（三角形）面积的差。即
二、移动的思想方法
1.点的移动：将图中的某一点看作一个“动点”沿直线移动，使原来分着的空白部分合并在一起变成一个简单明了的图形。
例3 如图5，已知长方形的长是8厘米，宽是4厘米，图中阴影部分面积是10平方厘米，求OD长多少厘米？
分析与解 观察图5，把图中的阴影部分看作两个三角形（即△ABO和△CBO），将这两个三角形中的A点和C点分别看作“动点”平移到如图6所示的A'点和C'点（等底等高，面积相等），等积变形为一个简单的三角形A'C'O。因为阴影部分面积是10平方厘米，A'C'的长为4厘米，所以OB的长度为（10×2÷4=）5（厘米），因此OD的长度是（8-5=）3（厘米）。
2.面的移动：将所给图形中的某个图形沿直线上下左右移动，把复杂的图形转化成简单的图形，使原来面积不等变成相等。
例4 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合（如图7），已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积为14，绿色面积是10，那么正方形盒子的面积是多少？
分析与解 根据题目的条件，观察图7，发现黄色正方形沿着正方形盒子的边线慢慢向左平移，黄色纸片的小部分逐渐被红色纸片所盖没，绿色纸片却逐渐在增加，黄色纸片盖住的部分就是绿色纸片增加的部分。直移到红色与黄色两纸片下上对齐。此时绿色纸片也暴露到了最大的程度（如图8），而且黄色纸片与绿色纸片的面积是相等的。即黄色和绿色的面积都为（（10+14）÷2=）12。我们把留出的空白部分假设为白色，从图中可看出，红、黄两纸片有一边相同，绿、白两纸片也有一边相同，所以它们各自面积之比等于相应边长的比。便有：
因此，所求正方形盒子的面积为
20+12+12+7.2=51.2
三、翻折的思想方法
将所给图形的某一部分以某一直线为对称轴翻折，使原来复杂的图形变为直观图形。
例5 如图9，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。
分析与解 观察图9，根据题目的条件可知直线AB将原大长方形分成大小一样的两个小长方形。只需把下面的小长方形以直线AB为对称轴向上翻折，就把下面长方形内的阴影部分合并到如图10所示的上面的长方形中。我们知道阴影部分的面积就是小长方形面积的一半，即所求阴影部分的面积为
8×（6÷2）÷2=12。
例6 在图11中，圆的半径为r，求阴影部分的面积。
分析与解 以图11中的水平直径作为对称轴，将上半部分往下翻折，使阴影部分拼合成两个三角形（如图12）。可以看出，所求的阴影部分面积等于梯形面积与空白部分（即三角形面积）的差。所以
阴影部分面积=（2r+4r）×r÷2-2r×r÷2=2r2。
运用“取中法”解题举隅
根据题目特征，以中间一个数为突破口进行解题，是一种常用的解题策略。运用取中法解答课本中的思考题和数学竞赛题，不仅能激发学生的学习兴趣，而且能使解题思路简捷、达到事半功倍的效果。现举数列说明。
一、运用取中法解答数值计算
对于由相近的一组数相加的计算题，解答时可选择一个中间数作为计算基础，通过“移多补少”变加为乘，能使计算简便。
例1 计算
（4845+4847+4836+4838+4840+4839+4842）÷7
分析和解 例1括号内是7个相近的数相加，按顺序排列可知中间的数是4840，以4840为基数，可作如下计算：
原式=[4840×7+（5+7-4-2-1+2）]÷7=4841
二、运用取中法解答整除问题
涉及整除问题的填数题，可根据填数的诸种可能性，先假设中间一个数进行试探，进而再进行调整，可使问题得到解决。
例2 如果六位数，1992□□能被95整除，那么，它的最后两位数是_____。
（1992年小学数学奥林匹克初赛（B）卷第4题）
分析和解最后两位数只能是“00”到“99”一百个数中的一个数，先假设这两位数是中间数50。那么，199250 ÷95=2097……35，显然，假设偏大35，故从199250中减去35所得的差能被95整除。即：199250-35=199215，所以，它的最后两位数是“15”。
三、运用取中法解答估算问题
在小学数学竞赛中，常出现这样一类题，它不要求算式的精确值，只要求算式结果的整数部分。对这类题，解答时取中间一个数代换其它数进行计算，先求出近似结果，再加以确定能较快地求出结果。
分析和解 观察可知，繁分数中共有12个分母数字较大的分数，按常规的通分方法显然行不通。若取最大值和最小值来讨论算式的取值范围，也较
找出算式的整数部分。
因此，S的整数部分是165。
四、运用取中法巧填数字题
填数字是一种常见的数学题型，其填法多种多样，但以中间数为突破口，通过分组试调，得到的一种解法，过程简捷、规律性强，便于操作，学生尤其是低年级学生易于接受。
例4 把1、3、5、7、9、11、13填进7个空中，使每个圆圈里四个数字的和都相等。（九年义务教材第四册88页思考题）
分析和解 观察题图发现，图中有一中心格，它是三圆交叉的公共格，此处所填的数三个圆圈都得用。因此，确定此格的数字至关重要，由于中间数7即是7个数的平均数（49÷7=）7，所以中心格应填7，中间数把另6个数分成两组，前面三个数为较小数，后三个数为较大数，将较小数1、3、5填入三个较小空中或填入三个较大的空中，再将三个较大数9、11、13与之搭配，采取较小数配较大数的方法试调。使每个圆圈里的四个数的和都相等。这样便得到如下两解。
